朗斯基行列式

朗斯基行列式由若干函數及其各階導數構成，用作判定這些函數是否線性無關的快捷檢驗。把這些函數排在第一列，它們的一階導數排在第二列，二階導數排在第三列，依此類推；該矩陣在某點求值的行列式就是朗斯基行列式。若它在某處非零，這些函數就不可能滿足線性相關關係——這是行列式理論向分析的一次乾淨引入。

對 (n-1) 次可微的函數 f_1, ..., f_n，W(x) = 第 k 列為 (k-1) 階導數 [f_1^(k-1)(x), ..., f_n^(k-1)(x)] 的矩陣的行列式。若在哪怕單獨一點 x_0 處 W(x_0) != 0，則 f_1, ..., f_n 在其定義域上線性無關。邏輯是直接的：相關式 c_1 f_1 + ... + c_n f_n = 0 恆成立，反覆求導便給出齊次線性方程組 A c = 0，其係數矩陣正是朗斯基矩陣；非零行列式迫使 c = 0。

它的主要棲息地是線性微分方程。對單個 n 階線性常微分方程的解，朗斯基行列式更加銳利：阿貝爾恆等式說它在一個區間上要麼恆為零、要麼處處不為零，故在一點檢驗即可判定整個解集的無關性，而非零的朗斯基行列式認證了一個基本解系。

注意：一般而言逆命題不成立。對任意函數，朗斯基為零並不證明相關——存在經典的無關函數對（如 x^2 與 x|x|），其朗斯基恆為零。乾淨的雙向等價僅在線性常微分方程的解（或解析函數）這一特殊且良好的情形下成立。用朗斯基行列式來證明無關；不要用朗斯基為零來斷言相關。