分解的唯一性

大多數矩陣分解本身並不唯一；只有在固定一個歸一化約定之後才唯一。原因是你總能把一個可逆因子塞進中間再消去：若 A = B C，則對任意尺寸合適的可逆 M 都有 A = (B M)(M^-1 C)。唯一性的論斷其實是在說允許哪些 M。

標準的固定方式很簡單。一旦要求 L 為單位下三角（對角線為 1），LU 就唯一，從而對角縮放不能在 L 與 U 之間游移；再加上部分選主元，P A = L U 便被確定。對行滿秩的 A，一旦要求 R 的對角線為正，QR 就唯一，這釘住了 Q 每一行的符號。Cholesky A = L L^T 在要求 L 的對角線為正時唯一。

最深刻的情形是譜分解與奇異值分解，其唯一性是有條件的。特徵向量只定義到一個縮放倍數；當特徵值有重根時，其特徵空間的任意一組基都可用，所以特徵向量矩陣確實不唯一。在 SVD 中，對應於重奇異值的奇異向量可以在那個子空間內自由旋轉。

這在實踐中為何重要：兩個正確的程式，或同一程式的兩次運行，可能返回相差一個符號或一個旋轉的因子，而二者都對。若你的程式碼直接比較因子，或假定固定的符號，就會看到虛假的不一致。應當比較真正被確定的東西——A 本身或奇異值，而非那些不唯一的因子。