秩分解

一個秩為 r 的矩陣只含 r 個獨立行，其餘都是它們的組合。秩分解把這一點具體化：任意秩為 r 的 m 列 n 行矩陣 A 都能寫成 A = C F，其中 C 為 m 列 r 行且行滿秩（其各行是 A 行空間的一組基），F 為 r 列 n 行且列滿秩（其各列告訴你如何混合 C 的各行以重建 A 的每一行）。

它是 A 最精簡的精確表示。無需存 m*n 個數，只需存 m*r + r*n 個；當 r 很小時節省巨大。一種簡單的構造法：對 A 做列化簡，取原 A 的主元行作為 C，取列最簡形中的非零列作為 F。

在概念上它為秩作證。只要存在一個乘積 C F，其中 C 行滿秩、F 列滿秩，就迫使中間維數等於 rank(A)；你無法把 A 從更窄的中間擠過去。這正是列秩等於行秩的代數核心。

它還是低秩逼近與偽逆背後的骨架。SVD 給出一種格外乾淨、正交歸一的秩分解，把它截斷到前 r 組奇異三元組就是最佳的秩 r 逼近。樸素秩分解是精確但不唯一的版本；SVD 則是它的規範、最優精化。