臍點（umbilic point）
/ UM-bil-ik /
在曲面大多數點上，都有一個明確的「最彎」方向與一個垂直的「最不彎」方向——鞍面顯然一向上彎、一向下彎。但在某些特殊點上，曲面在每個方向都彎曲相同的量，完全沒有偏好的軸，像一個完美圓頂的正頂端。這樣的點就是臍點。這名字源自拉丁文的「肚臍」——曲面在局部圓得像球面的那個位置。
精確地說，當兩個主曲率相等 k_1 = k_2 時，該點是臍點。此時法曲率 k_n(theta) = k_1 cos^2 theta + k_2 sin^2 theta 對每個方向 theta 都是同一常數，所以每個方向都是主方向，沒有特出的那一個。等價地，該點的第二基本形式是第一基本形式的純量倍（II = k * I）。有兩種類型。若 k_1 = k_2 非零，曲面局部看來像球（球面型臍點）。若 k_1 = k_2 = 0，則是平坦臍點（也稱平點），曲面到二階為止是平的，像猴鞍 z = x^3 - 3xy^2 的中心。
臍點是曲率線結構崩潰之處——因為每個方向都是主方向，那整齊的垂直曲率線網格無法選定方向，反而在臍點周圍旋成特徵性的奇異圖樣。一條乾淨的整體定理：一個連通曲面若其所有點皆為臍點，則必為平面的一部分（全是平坦臍點）或球面的一部分（全是球面型臍點）——這是僅有的全臍曲面。在一般的橢球面上恰有四個孤立的臍點。一個提醒：「臍點」是關於主曲率相等，而非關於該點在任何拓樸或奇異意義上特殊——曲面在那裡完全光滑且正則；失效的只是主方向的標記。
球面的每一個點都是臍點：球面在所有方向都以 1/R 彎曲，故處處 k_1 = k_2 = 1/R——這正是為什麼球面沒有特出的曲率線。相對地，一般橢球面（三個軸長皆不同）只在四個孤立點是臍點；其餘各處都有兩個確實不同的主曲率。橢球面的這四個臍點，正是其曲率線旋成特徵圖樣之處。
球面每一點都是臍點；一般橢球面恰有四個。
臍點是完全光滑且正則的——曲面在那裡沒有任何「毛病」。變為未定義的只是那一對主方向，因為當 k_1 = k_2 時每個方向彎曲相同，沒有哪個被選為「最彎」。