主曲率（principal curvatures）
站在曲面一點上，原地慢慢轉身，每次都問曲面在你所面方向彎得多急。隨著你旋轉，法曲率時高時低。會有一個方向曲面彎得最多，另一個方向彎得最少。這兩個極端的彎曲量就是主曲率，k_1（最大）與 k_2（最小）；它們發生的方向是主方向。
以下是精確結構。方向 w 上的法曲率是 k_n(w) = II(w, w)，當 w 跑遍所有單位切方向時，這是圓上的一個光滑函數，故有最大值 k_1 與最小值 k_2。一條乾淨的定理（把線性代數用於形狀算子 dN）說 k_1 與 k_2 是形狀算子的特徵值，它們的主方向是其特徵向量——當 k_1 不等於 k_2 時這兩個方向總是互相垂直。尤拉公式接著從這兩者重建每個法曲率：k_n = k_1 cos^2 theta + k_2 sin^2 theta，其中 theta 是與第一主方向的夾角。所以曲面在所有方向上的全部彎曲，都由兩個數與兩條垂直軸所編碼。
主曲率是兩個著名曲率的原料：高斯曲率是它們的乘積 K = k_1*k_2，平均曲率是它們的平均 H = (k_1 + k_2)/2。它們的符號一眼道出局部形狀：同為正或同為負是圓頂或碗（橢圓點）；異號是鞍（雙曲點）；其中一個為零是一向平坦的槽（拋物點）。關於符號的提醒：k_1 與 k_2 個別都依賴所選法向量的方向——翻轉法向量兩者都變號——所以平均曲率的符號是約定，但它們的乘積 K 與符號無關，故真正是內蘊的。
在環面（甜甜圈表面）的一點上，主方向是「繞管」與「繞洞」。在外赤道上，兩個主曲率都為正（曲面向外鼓起），故 K = k_1*k_2 > 0：橢圓點。在內赤道（最靠近洞的喉部），一個主曲率為正、一個為負——曲面繞管向你彎、繞洞背你彎——故 K < 0：雙曲（鞍）點。在頂部與底部的圓上，有一個主曲率為零，給出 K = 0 的拋物點。
在環面上，同一曲面有橢圓點、雙曲點與拋物點。
當 k_1 = k_2（臍點，例如球面的每一點）時，曲面在所有方向上彎曲相同，最大與最小值重合，主方向變為未定義——沒有特殊的軸，正如一個完美圓碗沒有偏好的傾斜方向。