第二基本形式（second fundamental form）
第一基本形式告訴曲面上的螞蟻關於從內部量度的距離與角度。但它完全不說曲面是像圓頂般凸出、像碗般凹陷，還是像鞍般一向上彎一向下彎——那是關於曲面如何彎入周圍空間的訊息，你得看第三維才能見到。第二基本形式正是捕捉這種彎曲的儀器。
以下是它的讀法。在點 p 取一個單位切方向，沿曲面在該方向走一條曲線。你移動時，曲面的單位法向量 N 會傾斜；等價地說，曲線必須加速才能留在曲面上。對切方向 w，第二基本形式 II(w, w) 量度曲面在法向上脫離自己切平面的程度——到二階，沿方向 w 走一單位步後，曲面落在切平面上方高度 (1/2) II(w, w) 處。在帶單位法向量 N 的參數化 x(u, v) 中，它的三個係數是 e = x_uu . N、f = x_uv . N、g = x_vv . N（曲面二階導數的法向分量），故 II = e du^2 + 2f du dv + g dv^2。等價地，II(w, w) = -dN(w) . w，把它直接繫於高斯映射：它記錄你沿方向 w 移動時法向量如何轉動。
第二基本形式是一切彎曲曲率的源頭。把單位切方向 w 餵入它，得到該方向的法曲率；w 繞一圈時的最大與最小值是主曲率 k_1 與 k_2；它們的乘積是高斯曲率 K，平均是平均曲率 H。一個把它與第一基本形式區分開的關鍵提醒：第二基本形式是外在的。若你翻轉所選法向量，它會改變（符號反轉），而螞蟻無法從內部量度它——只能參照周圍空間。深刻的意外（絕妙定理）在於：雖然 e、f、g 本身是外在的，特定組合 K = (e*g - f^2)/(E*G - F^2) 竟然終究是內蘊的。
在半徑 R、取朝外法向量的球面上，每個方向都以相同方式彎曲，可得 II = (1/R)(E du^2 + 2F du dv + G dv^2)——第二基本形式恰是第一基本形式的 (1/R) 倍。這表示法曲率在每個方向都是 1/R，故主曲率都是 1/R，高斯曲率為 K = (1/R)(1/R) = 1/R^2。在平面上，所有二階導數的法向分量為零，故 e = f = g = 0，II 恆為零，平面完全不彎曲。
在球面上 II 是 I 的 (1/R) 倍；在平面上 II 全然消失。
與第一基本形式不同，第二基本形式是外在且依賴符號的：反轉所選單位法向量，每個係數都變號。所以 II 本身不是曲面內蘊「擁有」的性質；只有它的無符號組合（尤其是高斯曲率）才可能是內蘊的。