高斯映射（Gauss map）
/ GOWSS map /
在光滑曲面的每一點，都有一個方向直直地伸出去、垂直於曲面：單位法向量。現在做一件簡單卻深刻的事。在每一點取那支朝外的小單位箭，保持其方向把它平移，使尾端落在原點。它的箭頭便落在單位球面上某處。高斯映射就是這個指派：它把曲面上每一點送到單位球面上記錄「曲面在這裡朝哪個方向」的那一點。
形式上，把（正則、可定向的）曲面 S 上每一點 p 的單位法向量寫成 N(p)。因為 |N| = 1，N(p) 本身就是單位球面 S^2 上的一點。高斯映射就是 N : S -> S^2。整個想法的威力在於：曲率變成研究這個映射如何伸縮與轉動。在平坦平面上，法向量處處同向，所以高斯映射是常數——它把整個平面塌成球面上的一點，沒有曲率。在半徑 R 的球面上，每點法向量本已沿徑向，所以高斯映射本質上是恆等映射（按比例），把曲面鋪滿整個球面。高斯映射的導數 dN_p（切平面到自身的線性映射，稱為形狀算子或外因加滕映射）量度你移動時法向量擺動的速率——而那速率正是曲面的彎曲。
這是高斯的神來之筆：它把含糊的「曲面如何彎曲？」轉化為具體可微的問題「N 如何移動？」dN_p 的特徵值（差一個正負號）是主曲率；它們的乘積是高斯曲率，平均是平均曲率；第二基本形式由 dN_p 建構而成。此處潛藏一個美麗事實：p 處的高斯曲率等於高斯映射的局部「面積放大率」——當區域縮向 p 時，(球面上掃出的面積)/(曲面上的面積) 的極限。一個提醒：高斯映射需要一個定向（對「朝外」的一致選擇）；在像莫比烏斯帶這樣不可定向的曲面上，你無法在整體上作此選擇，所以單一的整體高斯映射並不存在。
在半徑 R 的球面上，點 p 處朝外的單位法向量是 N(p) = p / R——沿徑向朝外。所以高斯映射把 p 送到 p/R，恰是單位球面上對應的點：此映射把整個單位球面覆蓋一次。在平坦平面上，N 處處是同一個常向量，所以高斯映射把整個平面壓成一點——明白地登記了「無曲率」。比較這兩個極端，已可見高斯映射把曲率化為法向量的像散布得多廣。
高斯映射把「曲面朝向何方」記錄為單位球面上的一點。
高斯映射需要對單位法向量作整體選擇（一個定向）。在莫比烏斯帶上這選擇無法一致地作出——把法向量沿帶滑一圈，它會反向回來——所以該帶沒有整體高斯映射，只有局部的。