高斯曲率（Gaussian curvature）
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為什麼你能用一張平紙包住管子，卻永遠無法不起皺地包住籃球？深刻的答案是附在曲面每一點上的單一數字：高斯曲率 K。它量度曲面的內蘊彎曲——一種你能從內部、靠量度三角形與圓而偵測到、根本不必看周圍空間的彎曲。球面有正 K，平坦平面與圓柱有 K = 0，鞍面有負 K。
精確地說，一點上的高斯曲率是兩個主曲率的乘積：K = k_1 * k_2。在參數化下可算為 K = (e*g - f^2)/(E*G - F^2)，即第二基本形式行列式與第一基本形式行列式之比。光看符號就能分類局部形狀。若 K > 0，兩主曲率同號：曲面像圓頂或碗，整個落在切平面同一側（橢圓點）。若 K < 0，兩者異號：曲面呈鞍形並穿過切平面（雙曲點）。若 K = 0，至少有一個主曲率為零，像平紙或圓柱壁（拋物點或平點）。還有一個生動的幾何讀法：K 是高斯映射的局部面積放大率，即單位球面上法向像面積對曲面面積的極限比。
高斯曲率是整個領域的主角，因為高斯絕妙定理：雖然 K 由主曲率定義（需要周圍空間），它卻竟可單憑第一基本形式 E、F、G 算出——它是內蘊的。所以 K 在任何不拉伸的彎曲下都存活：把紙捲成圓柱始終保持 K = 0，這正是為什麼平紙適配圓柱卻抗拒球面（球面 K = 1/R^2 > 0 無法被紙的 K = 0 匹配）。它也透過高斯-博內定理掌控整體形狀，該定理把封閉曲面的總曲率等同於 2*pi 乘以其尤拉示性數。一個堅定的提醒：別把它和一維曲線的曲率 kappa 混淆，後者是外在且無關的；高斯曲率是二維曲面的性質，它的內蘊本性正是它的全部要點。
半徑 R 的球面，兩主曲率都等於 1/R，所以每點 K = (1/R)(1/R) = 1/R^2 > 0：較大的球較不彎、較小的較彎，正如直覺所料。平坦平面 K = 0。圓柱也 K = 0，因為它有一個主曲率（沿軸）為 0，使乘積歸零，儘管曲面明顯彎曲——那消失的 K 正是「圓柱其實平坦、能攤回紙上」的精確陳述。像 z = x^2 - y^2 的鞍面在中心處 K < 0。
球面 K = 1/R^2 > 0；平面與圓柱 K = 0；鞍面 K < 0。
K = 0 並不表示「看起來平」。圓柱明顯彎曲卻處處 K = 0，因為有一個主曲率為零，而高斯曲率是乘積。K = 0 表示內蘊平坦——能不拉伸地攤到平面上——這是關於度量的陳述，而非看起來平。