曲率線（line of curvature）

在曲面的每一點（除了特殊的臍點外），都有兩個互相垂直的方向，曲面在其中彎得最多與最少——主方向。現在想像從一點出發，總是朝「彎得最多」的方向走，讓它隨點而變地溫和引導你。你描出的光滑路徑就是一條曲率線。它們有兩族，編織成一張自然鋪在曲面上的垂直網格，像是曲面自身彎曲想要遵循的縫線。

精確地說，曲面上一條曲線是曲率線，若在它的每一點，切方向都是主方向——也就是它總是沿著法曲率取最大或最小值的方向前進。等價地（羅德里格斯判準），沿這樣的曲線，單位法向量 N 的變化平行於位置的變化：dN = -k dx，其中純量 k 正是該方向的主曲率。每個非臍點恰有兩條曲率線通過，各對應一個主方向，且互相垂直相交。選取座標 (u, v) 使座標曲線恰是曲率線，會讓公式美妙地簡化：第一基本形式的 F = 0 與第二基本形式的 f = 0 同時成立，主曲率就成為 e/E 與 g/G。

曲率線在理論與實務上都重要。它們給出計算曲率最乾淨的座標系，也有物理現身：在光滑曲面上，它們是滾動圓柱不會晃動的方向，在光學中，透鏡表面的曲率線組織了像散。一個提醒：曲率線並不等同於測地線。測地線是局部最短路徑（測地曲率為零）；曲率線則沿主彎曲方向。它們有時重合——例如旋轉面的子午線兩者皆是——但一般而言是回答不同問題的不同曲線。