傅立葉級數的逐項積分

積分是求導那溫和、寬容的表親。對傅立葉級數逐項求導可能炸開，而逐項積分卻幾乎總能奏效——你只需求出每個正弦和餘弦的原函數，把它們加起來，就得到了原函數的積分。這使逐項積分成為一件可靠的日常工具，是推動傅立葉級數的那個安全方向。

為什麼它如此規矩？對 cos(n pi x / L) 積分，得到 sin(n pi x / L) 除以 (n pi / L)，於是每個係數多出一個因子 1/n——高次諧波被壓低，而不是被放大，收斂只會變得更好。確切的陳述是：若 f 僅僅在週期上可積（它甚至可以有跳變），那麼你可以對它的傅立葉級數逐項積分，結果收斂到 f 的積分。只有一個記賬上的微妙之處：常數項 a_0/2 積出一條直線 (a_0/2) x，它不是週期的，所以積分後的級數等於 f 的積分再加上那條線性斜坡——你要把這條斜坡顯式地納進來，而不要指望拿回一個純粹的傅立葉級數。

這是真正有用的，而不只是令人安心。你可以對一個已知的傅立葉級數積分，免費發現一個新的；你可以為解一個積分方程時的傅立葉級數步驟提供正當性；你還可以用它推導係數求和恆等式。它是獲得越來越光滑表示背後的那個運算：積分一次，一個鋸齒狀的 1/n 級數就變成一個拋物線狀的 1/n^2 級數，後者一致收斂、看起來明顯更順眼。