偏微分方程組

到目前為止我們大多想像單一個未知函數。但世界往往是耦合的：流體的速度、電場與磁場、幾種反應化學物的濃度——這些一次牽涉好幾個未知量，每一個的演化都依賴其他的。偏微分方程組是針對好幾個未知函數的好幾條方程，綁在一起，使你必須同時求解它們全部。相對地，針對單一未知量的單一方程稱為純量方程。

具體說，你擁有的不是一個 u，而是一個未知量的向量，例如 (u, v, w)，以及一組各自聯繫它們偏導數的方程。著名的例子是馬克士威方程組，四條耦合的 PDE 連結電場與磁場；另一個是流體流動的納維-斯托克斯方程組，耦合三個速度分量與壓力。耦合是本質特徵：你通常無法孤立地解一條方程，因為每個未知量都出現在好幾條方程中。方程組與純量方程之間還有一條深刻的雙向道：一條單一的高階純量方程，可以藉由把它的導數命名為新的未知量而改寫成一階方程組（恰如二階 ODE 變成兩條一階 ODE），這個技巧是許多數值與理論工作的基礎。

方程組之所以重要，是因為大多數真實物理都是方程組，也因為它們提出純量方程無法提出的問題。分類（雙曲、拋物、橢圓）可推廣到方程組，但變得更豐富——一階方程組可以有好幾個特徵速度，每個「模態」一個，而正確的概念類似對稱雙曲性，它保證整個耦合集合是適定的。三維納維-斯托克斯方程組全域正則性的未解之謎——一個千禧年大獎問題——生動地提醒我們：方程組可能比任何單一方程都艱難得多，而數學中某些最難的未解問題正棲身於此。