偏微分方程的階

若你必須依難度與行為把 PDE 分箱，你第一個會抓的標籤就是階。一條 PDE 的階就是其中出現的最高階導數的階。一階方程至多含一階導數（u_x、u_t）；二階方程某處含一個二階導數（u_xx、u_tt 或混合的 u_xy），但沒有更高的。這是最容易讀出的性質——你掃過方程，找出求導最深的那一項即可。

計數很直接，但要留意混合項：u_xy 是二階項，因為它總共求導兩次，即使對各自變數而言每次只是一階。所以 u_t + u_x = 0 是一階；u_t = k u_xx 是二階；雙調和方程 Laplacian(Laplacian u) = 0（化開來是像 u_xxxx 這樣的四階導數）是四階。階數不在乎有幾個自變數，也不在乎方程是否線性——只在乎你求導求得多深。

階之所以重要，是因為它在很大程度上決定了問題需要多少資料，以及方程如何表現。粗略地說，階越高，你必須提供越多條件才能確定出一個解——n 階 ODE 需要 n 個常數，而 PDE 的資料需求也隨其階增長（只不過對 PDE 來說「常數」變成了整個函數）。古典物理絕大多數方程都是二階——熱、波、拉普拉斯、帕松全是——這正是為何橢圓型、拋物型、雙曲型的深層分類是圍繞二階方程建立的。一階方程自成一個世界，靠沿著特徵曲線求解。