典型偏微分方程

在一頭栽進理論之前，先認識一下角色陣容會很有幫助——一小撮處處重現、充當整門學科試金石的方程。你學到的幾乎每一種技巧都先在它們之一上試驗，而幾乎每一條現實世界的 PDE 都是它們之一的親戚。它們是傳輸方程、熱（或擴散）方程、波動方程，以及拉普拉斯與帕松方程。學會這五者如何表現，你就握有整片地景的地圖。

它們在此，各有性格。傳輸方程 u_t + c u_x = 0 是其中最簡單的：它只是以速度 c 把一個剖面側向滑動，是一階方程的原型。熱方程 u_t = k u_xx（也稱擴散方程）把東西攤開、瞬間撫平尖銳特徵、且在時間上不可逆地向前推進——它的解只會越來越模糊。波動方程 u_tt = c^2 u_xx 使擾動以有限速度 c 朝兩個方向傳播而不予以撫平，所以訊號與形狀被保存並反射。拉普拉斯方程 Laplacian u = 0 描述平衡——穩定溫度、肥皂膜、真空中的靜電位——而它受源驅動的表親帕松方程（Poisson's equation）Laplacian u = f 則加上一個強迫項。最後這兩者完全沒有時間變數；它們是穩態、一次到位的平衡。

這些例子是一張路線圖，因為它們體現了本學科把一切分類成的三種基本型別：熱方程是典型的拋物型方程、波動方程是典型的雙曲型、拉普拉斯方程是典型的橢圓型。它們相互對照的行為——無限對有限的傳播速度、撫平對保存奇異性、演化對穩態——並非偶然的怪癖，而是那些型別的決定性特徵。把這五者記在心裡，你遇到的每一條新方程都能藉由問「它最像其中哪一個？」來定位。