由守恆律導出偏微分方程

PDE 究竟從何而來？它們並非憑空而生——多數著名的 PDE 都是一個近乎顯然的記帳想法的精確數學陳述：東西是守恆的。無論你追蹤哪個量——質量、能量、電荷、動量、路上的車數——任何區域內的量只能因為有些越過邊界流動，或因為內部有源創造或消滅了一些，才會改變。把這份平衡仔細寫下來，一條 PDE 就掉了出來。

以下是平白步驟的推導，本學科一半方程的背後就是它。設 u 為某守恆量的密度（每單位長度、面積或體積的量），q 為其通量（它流過某點的速率）。一小段區間內的總量，只因一端流入減去另一端流出、再加上任何源而改變。讓區間變小，這份平衡就化為守恆律 u_t + q_x = 0（高維中帶源 f 則為 u_t + div q = f）。要收尾，你還需要一條本構關係——一條把通量用 u 表示的物理規則。若通量就是 u 以速度 c 被帶著走，q = c u，便得傳輸方程 u_t + c u_x = 0。若通量正比於負梯度（東西從高處流向低處——熱的傅立葉定律、擴散的菲克定律），q = -k u_x，便得熱方程 u_t = k u_xx。若通量依賴 u 本身，q = u^2/2，便得非線性的柏格斯方程 u_t + u u_x = 0。

光是這一個模板——平衡加上一條通量律——就生成了數學物理中驚人比例的方程，而看見它會改變你讀每一條方程的方式。另一大來源是變分原理：許多方程之所以出現，是因為大自然極小化某個量（能量、作用量、面積），而極小的條件本身就是一條 PDE（歐拉-拉格朗日方程）——例如肥皂膜極小化面積、服從極小曲面方程，而拉普拉斯方程正是極小化 grad u 平方之能量積分的歐拉-拉格朗日方程。守恆律與變分原理是 PDE 流淌而出的兩大泉源；認出是哪一個在起作用，會在你尚未解出任何東西之前，就告訴你關於一條方程的許多事。