疊加原理
若有一個想法為線性 PDE 幾乎每一種精確解法提供動力，那就是疊加，而其直覺再簡單不過：對線性問題，你可以把簡單的答案加起來建造複雜的答案。針對你情境的每一塊容易的部分分別求解，再把結果相加，那個和又是一個解。各效應彼此不干擾、不污染——它們就只是相加。兩道波穿過彼此、兩個熱源溫暖一個房間、兩個電荷建立一個場：在每種情形中，總和都是各部分之和。
精確地說，若一條 PDE 是線性且齊次的——寫作 L[u] = 0，L 為線性算子——而 u1 與 u2 都是解，那麼對任意常數 a、b，任何組合 a u1 + b u2 也是解。這直接源於線性：L[a u1 + b u2] = a L[u1] + b L[u2] = a*0 + b*0 = 0。同樣的想法推廣到無窮和與積分，這正是傅立葉級數與積分轉換所利用的：你把初始資料分解成許多簡單積木（正弦與餘弦、或指數、或特徵函數）之和，對每塊積木輕易求解，再疊加起來。對非齊次問題，此原理可調整：對一組源之和的回應，等於各回應之和，這正是格林函數方法的基礎。
這正是疊加被恰當地稱為整個線性理論引擎的原因。分離變數法、特徵函數展開、傅立葉與拉普拉斯轉換、杜阿梅原理、格林函數——每一個都是喬裝的疊加，從一份簡單解的目錄中建造出通解。它也精確地告訴你線性方法在哪裡止步：疊加對非線性方程失效，因為在那裡 L[u1 + u2] 不等於 L[u1] + L[u2]。疊加的崩潰，在精確的意義上，正是非線性 PDE 之所以困難、需要全然不同工具的全部原因。
對熱方程 u_t = k u_xx，u1 = e^(-k t) sin(x) 與 u2 = e^(-4 k t) sin(2 x) 都是解，故 3 u1 - 7 u2 也是解。把資料寫成傅立葉正弦級數 sum_n b_n sin(n x)，疊加這些簡單模態便得到 u(x, t) = sum_n b_n e^(-k n^2 t) sin(n x)。
把解相加得到解；把資料分解為簡單模態，逐一求解，再疊加——這就是整套線性工具。
疊加同時需要線性與（對最簡單的「解之和是解」形式而言）齊次性；它對非線性方程不成立。當心對帶非零源的問題天真地把整條方程的兩個解相加——那裡你必須把一個特解加到齊次解上，而非把兩個特解相加。