一階方程：恰當方程與代換
代換 v = y/x（substitution v = y/x）
這是攻破齊次方程的那個特定變數變換。齊次方程之所以可解，整個原因在於它的斜率只依賴比值 y/x；於是你給那個比值起個名字 v，並把一切以 v 與 x 改寫。新方程總是可分離的。
以下是樸實步驟中的機制。令 v = y/x，意即 y = v x。用乘法律對 x 微分這個乘積：dy/dx = v + x dv/dx。把 y = v x 與這個 dy/dx 的表達式都代入齊次方程 dy/dx = f(y/x) = f(v)。得到 v + x dv/dx = f(v)，把含 v 的項收攏：x dv/dx = f(v) - v。這分離為 dv/(f(v) - v) = dx/x——純粹的分離變數。兩邊積分，再把 v 換回 y/x，便回到原變數。
這技巧值得內化，因為它是所有代換法的範本：認出方程真正依賴的那個單一組合，給它命名，方程便塌縮成你早已會解的東西。同樣的直覺把白努利方程化為線性，並在已知一個解後化簡黎卡提方程。
對 dy/dx = (x^2 + y^2)/(xy)，分子分母同除 x^2 得 (1 + (y/x)^2)/(y/x)。以 v = y/x 即 (1 + v^2)/v，而 v + x dv/dx = (1 + v^2)/v 給出 x dv/dx = 1/v，即 v dv = dx/x。於是 v^2/2 = ln|x| + C，再得 y^2/(2x^2) = ln|x| + C。
把比值命名為 v，對 y = vx 微分，一個可分離方程便掉出來。
別忘了乘法律那一項：dy/dx 是 v + x dv/dx，而非只有 dv/dx。漏掉 x dv/dx 這一塊，是這個方法中最常見的錯誤。
又稱
另見