代換法（substitution method）
代換法是 v = y/x 與 v = y^(1-n) 背後的一般藝術：當方程在目前的變數下很難時，引入一個新變數來捕捉方程真正在乎的那個組合，方程往往就變換成可解的標準類型之一——可分離或線性。它與其說是單一公式，不如說是一種靠辨認結構來運用的策略。
機制總是相同的三個動作。第一，依方程的形狀挑選代換 u = g(x, y)——常常是方程裡重複出現的那塊。第二，微分以把舊導數 dy/dx 用新變數與 du/dx 表示，並把一切代入；做得好的話，原變數那份彆扭的依賴就相消掉了。第三，解較簡單的變換後方程，再反轉代換以取回 y。整個回報全靠把那一團雜亂的組合選成單一乾淨的符號。
值得記住的常見樣式：依賴 y/x 的方程要用 v = y/x；形如 dy/dx = f(ax + by + c) 的方程要用 u = ax + by + c，這總會把它變成可分離；白努利方程要用 v = y^(1-n)。誠實的提醒是：一般而言並無演算法能找出正確的代換——這是樣式辨認，而你能如此攻破的方程，只是一份小而精選的清單，這正是其餘方程之所以需要數值方法的原因。
解 dy/dx = (x + y + 1)^2。右側只依賴 u = x + y + 1，故代入它：du/dx = 1 + dy/dx = 1 + u^2。這是可分離的：du/(1 + u^2) = dx，於是 arctan(u) = x + C，得 x + y + 1 = tan(x + C)，故 y = tan(x + C) - x - 1。
把重複出現的那塊命名為 u = x + y + 1，一個可分離方程便出現了。
並無萬用的代換；此方法之所以可行，僅因少數可辨認的形式有已知技巧。若沒有任何標準樣式合用，代換通常幫不上忙，而這是正常的——大多數方程根本沒有初等解。