可分離方程（separable equation）

想像一個方程式，所有提到 x 的東西都裝在一個袋子裡，所有提到 y 的東西都裝在另一個袋子裡，彼此毫不糾纏。可分離方程正是這種幸運的情形：一個一階方程，你可以重新整理，把所有含 y 的部分（包括 dy）放到一邊，所有含 x 的部分（包括 dx）放到另一邊。變數一旦被拉開，你就能各自獨立積分，基本上就解完了。

具體來說，可分離方程可寫成 dy/dx = f(x) g(y)——右邊是一個只含 x 的函數與一個只含 y 的函數的乘積。你把它移成 dy/g(y) = f(x) dx（除以 g(y)），再對兩邊積分。例如 dy/dx = x y 可分離為 dy/y = x dx，積分得 ln|y| = x^2/2 + C，於是 y = A e^(x^2/2)。整個方法之所以行得通，是因為把連鎖律反過來用，讓每一邊都能在自己的變數中被積分。

可分離方程是你遇到的第一個可解家族，而且出乎意料地多現實模型落在這裡：指數成長與衰減、放射性衰變、牛頓冷卻定律、邏輯斯諦方程都是可分離的。誠實的代價是：大多數微分方程並不可分離——變數拒絕分開——這正是你需要線性方法、代換、最終還有數值工具的原因。還有一個安靜的陷阱：除以 g(y) 可能丟掉任何使 g(y) = 0 的解，所以要小心遺失的常數解。