齊次（同次數）方程（homogeneous equation）

有些方程看似無望，直到你注意到它只在乎 y 與 x 的比值，而非兩個數值各自分開。想像把一張照片放大縮小：若方程的斜率樣式在每個縮放層級看起來都一模一樣——在原點附近的微小尺度上，與遠處相同——那麼方程就有一種特殊的自相似結構。這就是齊次方程，也是一階理論的第二大代換技巧。

確切地說，當 f 只透過組合 y/x 來依賴 x 與 y 時，dy/dx = f(x, y) 稱為齊次；等價地，寫成 M dx + N dy = 0 時，M 與 N 都是同一次數的齊次函數，意即 M(tx, ty) = t^k M(x, y)，N 亦然。因為右側其實是單一比值 v = y/x 的函數，你代入 y = v x（於是 dy/dx = v + x dv/dx）。這總會把方程化成關於 v 與 x 的可分離方程，你再用分離變數法求解，最後以 v = y/x 還原。

當心「齊次」這個詞：在這個一階情境下它意指同次數／只依賴 y/x，這與後來「齊次線性方程」的意思（右側等於零）完全不同。同一個詞，兩個無關的意義——這是一個經典的混淆來源，值得大聲標明。