由特徵值判定穩定性

穩定性問一個簡單的問題：若把系統推離平衡，它會回來還是越走越遠？對線性系統，答案直接從其矩陣的特徵值讀出。每個特徵值是一個模式；若每個模式都隨時間收縮，整個系統就穩定。

判據按時間類型分兩支。對連續系統 x' = A x，平衡點漸近穩定當且僅當每個特徵值實部為負，Re(lambda) < 0，因為每個模式帶有因子 exp(lambda t)。對離散系統 x_{k+1} = A x_k，穩定要求每個特徵值都在單位圓內，|lambda| < 1，因為每個模式帶有 lambda^k。

邊界情形很微妙。恰在直線 Re(lambda) = 0 上（或單位圓 |lambda| = 1 上）的特徵值是臨界的：可對角化時該模式既不增長也不衰減，但若該特徵值虧損，約當塊會產生多項式增長，系統實則不穩定。

為何重要：這是控制工程、數值方法分析的基石，也是經線性化（雅可比矩陣的特徵值）判斷非線性系統平衡點的依據。警示：特徵值只主宰長期、漸近的行為。一個穩定的非正規系統在衰減前仍可能瞬態激增，這在流體湍流與剛性數值問題中很要緊。