相似幾何（similarity geometry）
把一幅圖以任意放大率影印，再把副本滑動、旋轉或翻面：結果看起來和原圖一樣，只是可能變大或變小。它的形狀毫無改變，改變的只有整體尺度與擺放。相似幾何就是這樣的幾何：它把兩個圖形視為相同，恰恰當其中一個是另一個經縮放、可能反射、重新擺放的副本時——它是形狀的幾何，對絕對大小視而不見。
在愛爾蘭根的架構中，相似幾何是其變換群為相似群的幾何：所有由剛體運動（旋轉、反射、平移）接上一個正因子均勻縮放所構成的映射。這樣的映射把每段長度乘上相同因子 k，所以它不保持長度，但因為縮放是均勻的，它保持任意兩段長度的比值、也保持每個角。因此相似幾何的不變量是形狀本身、角、長度之比、面積之比、以及承襲自下層的平行性與共線性；相較於歐氏幾何所失去的是絕對長度與絕對面積。兩個三角形在相似幾何中「相同」，恰恰當它們在學校意義下相似時——對應角相等、邊成比例——這正是為何 AA、SAS、SSS 相似判別法是這一層的自然全等檢驗。
相似幾何在階層中位於歐氏幾何之上一層、仿射幾何之下一層：它忘掉歐氏幾何所保留的長度單位，卻仍記得仿射幾何丟棄的角。它是任何涉及比例與形狀、卻不涉及絕對尺度之陳述的正確場景——相似三角形理論的大部分、讀作比值陳述的畢氏定理、碎形的自相似。一個自然的提醒：「相似」允許反射，所以一個形狀的左手版與右手版算相似，即使單靠旋轉無法把它們疊合。
同一個國家的兩張地圖，一張比例尺 1:50000、一張 1:100000，由一個相似變換關聯：第二張上每段距離都是第一張對應距離的一半，每個角完全相同，每個形狀也一樣。在相似幾何中這兩張地圖「相等」，因為它們之間相異之處——尺度——正是這種幾何拒絕看見的東西。
相似幾何看見形狀、角與比值，卻對絕對尺度視而不見。
相似不等於全等：全等（歐氏）既要求形狀相等、也要求大小相等，而相似允許任意均勻縮放、甚至允許反射，所以所有正方形都相似，卻不是都全等。