仿射幾何（affine geometry）

想像透過一面能不均勻拉伸並使之傾斜、但絕不彎折直線、也絕不讓平行線相交的鏡片去看一幅平面圖。距離與角被打亂了，但有些東西頑固地倖存：直線仍是直線，平行仍是平行，中點仍是中點。仿射幾何正是這些倖存者的幾何——研究當你把大小與角全忘掉、卻仍尊重直線性與平行性時，還有什麼為真。

在愛爾蘭根的架構中，仿射幾何是其變換群為仿射群的幾何：平面上所有由一個線性部分（可旋轉、可在不同方向不等地縮放、可剪切）接上一個平移所構成的映射，且要求線性部分可逆。這樣的映射把每條線送成線、把平行線送成平行線、並保持沿任一條線量得的長度比值——所以它保持中點、保持以給定比分一線段的點、也保持三角形的形心。它不保持的是絕對距離、角、以及不同方向上長度的比較：正方形在仿射映射下能變成任意平行四邊形，圓能變成任意橢圓。因此仿射不變量是平行性、共線性、介於性、沿線比值、與面積之比；失去的則是長度與角。

仿射幾何在階層中位於射影幾何之下一層、相似幾何之上一層。它是任何用到平行性與比值、卻從不用到長度或角之事實的正確歸宿——三角形三中線共點、四邊形各邊中點構成平行四邊形、形心以 2 比 1 之比分每條中線。一個常見的誤解是以為仿射映射「什麼都能做」，但其實不能：它們永遠保持直線性與平行性，所以絕不能把三角形變成四邊形，也絕不能使兩條平行線相交。