幾何的階層（hierarchy of geometries）

克萊因的綱領不只是分別描述每一種幾何；它把它們疊起來。有些幾何比另一些更寬容——它們讓你對圖形做更多事，因而對它注意到的更少。依各幾何的變換群有多寬容把它們排好，會得到一座整齊的塔：頂端坐著最寬容的射影幾何，其下依序是仿射、再來是相似、最底層是最嚴格的歐氏幾何，每一層都是其上一層的特例。

一旦看出來，組織原則就很簡單：若幾何 A 的變換群被包含在幾何 B 的變換群之內，則 B 較寬容、A 較精細。對平面而言，剛體運動的歐氏群包含於相似群（後者加入均勻縮放）之內，相似群包含於仿射群（加入剪切與非均勻縮放）之內，仿射群又包含於射影群（加入把平行線送成相交線的透視映射）之內。每往上一步都擴大群、因而丟棄不變量：從歐氏到相似，你失去絕對長度卻保住形狀與角；從相似到仿射，你失去形狀與角卻保住平行性與沿線的比值；從仿射到射影，你失去平行性卻保住接合與交比。群越小，幾何越豐富——歐氏幾何看見最多，因為它容許最少。

正是這種套疊，讓一條定理能同時棲身於數種幾何之中，也解釋了為何某些結果「屬於」某一層級。關於接合與共線的陳述其實是射影的，在其下每種幾何裡也成立；而關於角的陳述真正屬於歐氏，到了更高層就毫無意義。一個常見的混淆是把階層想顛倒了，以為「最大」的幾何最強大；其實恰恰相反——較大的群意味著較粗、較弱、可用不變量更少的幾何。