不變量的階梯（ladder of invariants）

幾何的階層是一座由套疊變換群構成的塔；不變量的階梯則是與之對應、標示每一階仍能度量什麼的樓梯。當你從底層嚴格的歐氏幾何爬到頂層寬容的射影幾何，群越變越大，而一階接一階地，總有一個不變量掉落。把這兩座階梯並排來讀，是一眼看清整幅愛爾蘭根圖像最乾淨的方式。

具體地從上往下走，從不變量最少的最大群走到不變量最多的最小群。頂端的射影幾何，配射影群，只保持接合（哪些點落在哪些線上）、共線性、以及四共線點的交比；它甚至不知道「平行」是什麼意思。往下一階到仿射幾何，群變小了：此時平行性倖存，連同中點、沿單一條線量得的長度比值、與面積之比——但角與絕對長度仍看不見。再往下一階到相似幾何：此時角與形狀映入眼簾，還有任意兩段長度之比，但絕對長度仍缺席。再往下一階到歐氏幾何，最小的群：在這裡絕對長度、距離與面積終於成為真正的不變量，與承襲自上層的一切會合。旁側另有一條共形幾何，其莫比烏斯群不在這條單一鏈上，但它保持角與交比、卻捨棄直線性。支配整座階梯的規則很簡單：較大群的每個不變量都自動是其下每個較小群的不變量，所以不變量只會隨著你下降而累積。

這座階梯是愛爾蘭根綱領的實用回報：它告訴你，對任一幾何量，它究竟屬於哪一種幾何，因而當你對它推理時被允許使用哪些變換。若一條定理只提到接合，它是射影的，你可用任意射影映射；若它提到平行性卻不提長度，它是仿射的；若它提到角，它是相似或歐氏的。常見的錯誤是反向往上讀這座階梯——在仿射論證中使用像「這個角是直角」這類歐氏事實，而在仿射中角不是不變量、該主張根本毫無意義。在推理之前，先把量對準它的階。