愛爾蘭根綱領（Erlangen program）

到了十九世紀末，數學家手上堆積了一堆彼此分立、令人困惑的幾何：普通的歐氏幾何、新興的非歐幾何、射影幾何、仿射幾何等等。每一種都建立在自己的公理之上，看起來各成一座孤島。1872 年，年輕的費利克斯·克萊因（Felix Klein）就任愛爾蘭根大學教授時，提出了一個把它們全部串連起來的統一想法。愛爾蘭根綱領就是這個想法：一種幾何並非由關於點與線的公理來定義，而是由一個變換群來定義，而該幾何的「幾何事實」，恰恰就是這些變換所保持不變的性質。

把它說清楚。固定一個空間——例如平面——再固定該空間上一組構成群的容許變換（你可以什麼都不做、可以還原任何動作、可以把兩個動作接成一個）。於是對應的幾何只研究圖形中那些能在群裡每個變換下都倖存的特徵。歐氏幾何取剛體運動群（平移、旋轉、反射），所以它的事實關乎長度、角與全等——正是剛體運動無法改變的東西。若容許更大、還包含均勻縮放的群，長度就不再有意義，但形狀與角仍有意義：這就是相似幾何。容許所有仿射映射，連形狀都模糊掉了，但沿一條線的平行性與比值仍保留：這就是仿射幾何。容許所有射影變換，連平行性都瓦解了，只剩下接合（incidence）與交比：這就是射影幾何。群越小看見的不變量越多；群越大看見的越少。

綱領的威力在於：它把「我在做哪一種幾何？」變成尖銳的問題「我容許哪一個變換群？」，並使各幾何之間的關係變得精確：較大的群給出較粗、較寬容的幾何，疊在較小、較豐富的幾何之上。然而它並未涵蓋歷來發明的每一種幾何——曲率逐點變化的黎曼幾何與微分幾何，並不符合「單一群」的模子，克萊因自己也清楚這點。綱領把古典的「齊性」幾何組織得很漂亮；它是一面統一的透鏡，而非萬有理論。