群作用（group action）

群是一個抽象的「動作」裝置，可以組合、可以還原。群作用則是讓這樣一個群真正對某個具體空間「動手」的橋樑——它告訴你每個群元素如何搬動各點。當旋轉群作用在平面上時，每個旋轉都被明確告知哪一個點搬到哪裡；這份「指明搬到哪」就是作用。

精確地說，群 G 對集合 X 的作用是一條規則，指派給每個群元素 g 與每個點 x 一個新點，記為 g . x，且這種指派要尊重群的結構。有兩項要求使它「尊重結構」。第一，群的單位元 e 必須什麼都不做：對每個點 x 都有 e . x = x。第二，組合必須與合成一致：若你先用 h 作用再用 g 作用，結果應與用組合元素 gh 一次作用相同，即 (gh) . x = g . (h . x)。這兩條規則正保證了抽象的群律忠實地翻譯成空間上真實的搬動。在愛爾蘭根的圖像裡，變換群作用於幾何空間，而其餘一切——軌道、穩定子、不變量——都由這個單一概念建構而成。

把群本身與它的作用分開來看是值得的。同一個抽象群能作用於許多不同空間，有時某個非平凡的群作用得如此微弱，以致有些元素仍什麼都搬不動——這是作用不忠實（not faithful）的徵兆。你得到的幾何不只取決於你選哪個群，也取決於它如何作用。愛爾蘭根綱領默默假設了一個固定、忠實、可遞（transitive）的作用，作用在齊性空間上：忠實，使相異的變換真正不同；可遞，使空間從每個點看上去都一樣。