分點線段定理（side-splitter theorem）

想像一個三角形，用一條平行於某一邊所畫的線橫切過它。這條平行線把另外兩條邊各切成兩段——而分點線段定理說它把它們按比例切割。上面兩段的比與下面兩段的比相同。一條平行於底邊的線把兩腰以完美平衡的方式分割。

在三角形 ABC 中，設一條線在 D 點交於邊 AB、在 E 點交於邊 AC，且 DE 平行於 BC。則 AD/DB = AE/EC。利用合比性質也可寫成 AD/AB = AE/AC = DE/BC，把每一段上半（以及這條切線本身）拿來跟整體比。理由是相似三角形：因為 DE 平行於 BC，三角形 ADE 與三角形 ABC 有相同的角（AA），所以對應邊成比例，相等的比就此導出。逆定理同樣有用：若一條線把三角形的兩邊切成相等的比，則該線必平行於第三邊——這是一個只用長度就能判斷平行的乾淨檢驗。

這個定理是平行與比例之間的橋樑，而且它做著實際的工作：它讓你能用尺規把一條線段分成任意多個相等部分，它是作第四比例項的基礎，而它的逆定理不用量任何一個角就能證明兩線平行。「泰利斯截線定理」這個名稱是為了紀念那位古希臘人，傳說他正是用這個想法，從金字塔的影子量出了大金字塔的高度。