平行線判別法

你怎麼確定兩條線真的平行——無論延伸多遠都不相交——而不用真的走到無窮遠去查？答案是去讀截線與它們所造出的角。平行線判別法就是一整套定理，把單一交點處的角相等轉化為平行的保證，並且反向也成立。

嚴格地說，對被一條截線所截的兩條線，下列四個敘述彼此等價，且其中任一個成立若且唯若兩線平行：同位角相等；內錯角相等；外錯角相等；同旁內角互補（相加為 180）。要證明給定兩線平行，你只需展示其中之一——例如證出一組內錯角相等——平行隨即成立。要利用平行，你把蘊涵反過來用，讀出那些角。整張網由線性對與對頂角繫住，所以任一個關係都會迫使其餘成立。

一個誠實的提醒：這套判別法屬於歐氏幾何，其根基是平行公設。在非歐幾何裡公設被捨棄，線可以不相交卻不滿足這種整齊的角關係。所以「同位角相等即平行」是歐氏平面的定理，而非所有幾何的普遍真理——這正暗示了第五公設背後那個深刻的選擇。