魯歇定理（Rouche's theorem）
/ roo-SHAY /
假設你想數一個複雜函數在某區域內的零點，可這函數太亂，無法直接下手。魯歇定理給出捷徑：若你能找到一個在邊界上壓過它的更簡單函數，則兩個函數內部的零點個數相同。你去數那簡單函數的零點，便可斷定那困難的函數有同樣多的零點——一種關於根的微擾論證。
其陳述為：若 f 與 g 在閉圍道 C 上及其內部解析，且在邊界上處處有嚴格不等式 |g(z)| 小於 |f(z)|，則 f 與 f + g 在 C 內部有相同個數的零點（按重數計）。直覺是：沿整條邊界，g 都是一個太小的微擾，小到無法把任何零點拖過邊界，也無法令像以不同方式纏繞；既然在 C 上 |g| 從不達到 |f|，和 f + g 在 C 上便永不為零，其像繞原點的纏繞恰與 f 的相同。本質上它是輻角原理的一個乾淨推論：纏繞數相等意味著零點個數相等。
魯歇定理是通向代數基本定理的標準而初等的路徑——n 次多項式 p(z) 在一個大圓上被其首項 z^n 所壓過，而 z^n 在原點有 n 個根，故 p 恰有 n 個根。它被用來逐區域定位超越方程的根，在控制與數值分析中顯示穩定裕度，並證明系統的微小擾動不改變其不穩定模態的個數。它的威力在於把一個困難的計數問題，轉化為曲線上一個容易的不等式核對。
p(z) = z^4 + 6z + 3 有幾個根落在單位圓內？在 |z| = 1 上取 f(z) = 6z、g(z) = z^4 + 3。那裡 |f| = 6，而 |g| 至多為 1 + 3 = 4，故在邊界上 |g| 小於 |f|。於是 p 在內部的零點個數與 f(z) = 6z 相同，即一個。
在邊界上挑出佔主導的項；它內部的零點便數出整個函數的零點。
佔優的不等式必須是嚴格的，且須在圍道的每一點都成立；只要有一個邊界點上 |g| 等於 |f|，結論就可能失效。選哪一項當 f、哪一項當 g 是一門藝術——拆錯了，即便存在有效的拆法，不等式也會不成立。