里斯—費舍爾定理

里斯—費舍爾定理是 L^p 理論的結構基石：它確證 L^p 空間沒有「漏洞」。一列函數若其相鄰之差在 L^p 範數下趨於零——即柯西序列——則必收斂到一個確實存在、且自身仍屬於 L^p 的極限函數。一言以蔽之，你可以在 L^p 內部取極限而不致掉出其外。

對 1 <= p <= 無窮 陳述如下：空間 L^p(X, mu) 是完備的，故每個 L^p 範數下的柯西序列都在該範數下收斂到 L^p 的某個元素。等價地，L^p 是巴拿赫空間。有限 p 的經典證明先抽取一個快速收斂的子序列，透過對絕對差求和（借單調收斂定理控制，使該和幾乎處處有限）構造候選極限，再證整個序列都收斂於它。

歷史上此名附於其傅立葉分析的化身：給定任一平方可和的「待定傅立葉係數」序列，存在一個 L^2 函數，對固定的正交系恰好具有這些係數。這使 L^2 成為傅立葉級數的正確歸宿，也是勒貝格積分早期相對黎曼積分的決定性勝利——後者的函數空間在這些範數下並不完備。