Lᵖ 空間與積分理論
Lp 的完備性
完備性即「不缺失任何極限」的性質。若每個「本應」收斂的序列——因其各項最終彼此任意接近——都確實收斂到該空間中的某點，則稱此空間完備。有理數通不過這一檢驗（pi 的截斷會聚集，但其極限是無理數）；實數則通過。L^p 的完備性是說，對以 L^p 範數量度的整個函數，同樣的良好行為依然成立。
具體而言：在 L^p(X, mu)（1 <= p <= 無窮）中，若序列 f_n 滿足當 n, m -> 無窮 時 ||f_n - f_m||_p -> 0（即柯西序列），則存在 L^p 中的函數 f 使 ||f_n - f||_p -> 0。這正是里斯—費舍爾定理的內容，也正是它把僅為賦範空間的 L^p 升格為巴拿赫空間。當 p = 2 時，它使 L^2 成為希爾伯特空間。
其要害在於：完備性使分析得以借逼近與極限論證向前推進。你把解構造為一列逼近的極限，驗證這些逼近構成柯西序列，完備性便免費奉上極限——並保證它是真正的 L^p 函數。不動點定理、微分與積分方程的存在性證明，以及傅立葉展開的收斂性，無不倚靠於它。
函數的截斷把完備性展示為一種優點而非缺陷：在 [0, 1] 上令 g_n 在 x^(-1/4) 不超過 n 處與之相等，否則取值 n。每個 g_n 有界，故屬於 L^2；它們在 L^2 中構成柯西序列並收斂到 x^(-1/4)，而後者屬於 L^2——極限並未逃出該空間。
由良好函數構成的柯西序列可收斂到一個不那麼良好、但仍屬 L^p 的極限。
另見