重根情形（repeated root case）
有時特徵方程有一個重根，它的兩個解在單一值 r 處重合。指數猜測於是只給你一個解 e^(r x)，但二階方程需要兩個無關的解來填滿它的解空間。那麼缺失的第二個解從何而來？答案是本學科中最美的小驚喜之一：它是 x 乘以第一個解。
當 a r^2 + b r + c = 0 有重根 r = -b/(2a)（即 b^2 - 4ac = 0 的情形）時，基本解組的兩個成員是 e^(r x) 與 x e^(r x)。你可用直接代入驗證第二個成立，或用降階法推導它：設第二個解形如 v(x) e^(r x)，代入後，關於 v 的方程（因為 r 是重根）坍縮為 v'' = 0，其最簡單的非常數解是 v = x。於是多出那個 x 因子。因此通解為 y = (c1 + c2 x) e^(r x)：一個指數乘以一個一次多項式。
這正是過阻尼與欠阻尼兩個世界的分界線，物理上即臨界阻尼情形，是不振盪情況下回到平衡最快的方式，如調校良好的閉門器，或瀕臨彈跳的汽車懸吊。同樣的 x 乘子模式可推廣：高階方程中重數為 m 的根貢獻 e^(r x)、x e^(r x)、…、x^(m-1) e^(r x)。教訓是：重根迫使你越過純指數，才能恢復完整的維數。
y'' - 6 y' + 9 y = 0 有 r^2 - 6 r + 9 = (r - 3)^2 = 0，重根 r = 3。所以 {e^(3x), x e^(3x)} 是基本解組，y = (c1 + c2 x) e^(3x)。代入 x e^(3x) 得 0，確認那個 x 因子確實有效。
重根只供應一個指數；乘上 x 便造出所需的、無關的第二個解。
第二個解是 x e^(r x)，而非 e^(2 r x) 或 x^2 e^(r x)。常見的失誤是憑空造出第二個指數；真相是同一個指數 r，乘以 x，而那個 x 因子是降階法所迫出的。