降階法（reduction of order）

假設你已知道二階方程的一個解，也許是猜出來的，也許來自一張表，但你需要第二個、無關的解才能補全圖像。降階法是一套系統化的配方，把第二個解從第一個裡擠出來，將困難的二階問題化為容易的一階問題。

竅門是尋找形如 y2 = v(x) y1(x) 的第二個解，其中 y1 是已知解，v(x) 是待求函數，你讓未知的乘子 v 承載新資訊。把 y2 = v y1 代入 y'' + p y' + q y = 0。因為 y1 本就滿足方程，所有不含 v 的導數的項都抵消，連 v 那一項本身也消失；存留下來的是只含 v'' 與 v'、沒有純 v 的方程。這正是重點所在：令 w = v'，它便化為關於 w 的一階線性方程，你用積分因子解它，再積分一次得到 v。具名的結果是 v' 正比於 (1/y1^2) e^(-integral of p dx)，故 y2 = y1 乘以該式的積分。

降階法是好幾個重要結果背後的主力。重根的第二個解 x e^(r x) 正是這樣推導出來的。它也是為已知一個解的變係數方程（例如解來自級數或幸運的猜測）尋找配偶解的標準方法。而且它在結構上顯示，為何一個已知解確實是「成功的一半」：剩下的工作只是一階的。難處在於你必須先擁有一個非零的解作為起點，降階法是擴展一個立足點，而非無中生有地造出一個。