變係數線性方程（variable-coefficient linear equation）

有些線性方程的係數是 x 的真正函數，而非固定的數。變係數線性方程是一個一階線性方程 y' + p(x) y = q(x)，其中 p(x) 確實隨 x 變化——它不是常數。這是一般情形；常係數線性方程不過是 p 不變的那個特殊、最簡單的切片。

美妙之處在於，積分因子配方不在乎 p 是常數還是變數——它用同樣的四步處理兩者。你仍然形成 mu(x) = e^(p(x) 的積分)；唯一的差別是現在你必須積分一個真正的函數 p(x) 而非常數，所以 mu 出來會是像 x^n 或 e^(x^2/2) 這樣的東西，而不是單純的指數 e^(a x)。之後，程序完全相同：整個乘上、認出 (mu y)'、積分、再除回去。例如 y' + (2/x) y = x 有 p = 2/x，給出 mu = e^(2 ln x) = x^2，其餘照搬。變係數也重塑有效區間，因為在 p(x) 不連續之處（如 2/x 在 x = 0），被保證的解區間就結束了。

變係數方程之所以重要，是因為真實世界很少讓參數保持不變——漂移的冷卻率、變化的混合流入、正被調整的電路元件。它們是你看出「使積分因子法奏效的是線性、而非常數性」的自然場景。一個值得記住的誠實對比是：在一階，變係數在原則上並不更難（配方不變）。到了二階及以上，變係數變得真正困難得多——沒有一般公式，你必須轉向冪級數或特殊函數——所以容易的一階情形是個令人慶幸的例外，而非通則。