解的有效區間（interval of validity）

微分方程的解並不自動是對所有 x 都有定義的函數——它存活於某個區間，跨出該區間，公式可能不再有意義或不再解方程。有效區間是含初始點、且解在其上存在並真正是可微解的最大開區間。它回答：這個答案在 x 的哪個範圍內才真正成立？

有兩種不同的東西可以限制區間。第一，方程的係數：對線性初值問題 y' + p(x) y = q(x)，解只在 p 與 q 都連續的開區間上被保證，且一般無法推過不連續處。若 p(x) = 1/x 而初始點是 x_0 = 2，有效區間是 x 大於 0——x = 0 的奇異點形成一道牆。第二，即使方程光滑，解本身也可能失效：像 y = 1/(1 - x) 這樣的非線性解在 x = 1 之前沒問題，到那裡爆破到無窮，所以無論 f 看起來多好，它的有效區間都止於 1。你藉由找出 x_0 兩側最近的、解變得無定義、不連續或無界之處來讀出區間。

這個概念讓你對一個模型的預測能信任多遠保持誠實。對線性問題，區間由係數事先決定——真正的便利。對非線性問題，它可能取決於初始條件，而且可能比預期短得多，這正是「求有效區間」是解初值問題的標準步驟、而非事後補充的原因。常見的錯誤是回報一個代數公式並假設它處處成立；它只在初始點周圍的那一連通段上成立。