有限時間爆破（finite-time blow-up）
有限時間爆破，是指一個解不只是變大，而是真的在自變量的某個特定有限值處奔向無窮，在有界的「時間」內抵達，而非永遠走不到。解在那一刻之前好端端地存在，然後就乾脆不再以有限函數的形式存在。這是最大存在區間結束的最戲劇化方式。
當右端對 y 的增長快過線性時就會發生：解越大，斜率也越陡，形成一個失控的回饋迴圈。乾淨的模型是 y' = y^2、y(0) = 1。分離變數給出解 y = 1/(1 - x)，它在 x < 1 時沒問題，但當 x 趨近 1 時直衝無窮，且在那之後沒有定義。對比 y' = y，其解 e^x 雖然也無界增長，卻在每個有限的 x 處都保持有限——那只是指數增長，不是爆破。差別在於 y^2 對自身回饋得夠猛，能在有限時間抵達無窮，而 y 只能在極限中辦到。
誠實且略令人意外的一點是：y' = y^2 看起來毫無危險：右端是光滑的多項式，在任何有界區域上都利普希茨，所以皮卡－林德洛夫給出唯一的局部解，毫無麻煩的預警。爆破是一種局部理論看不見的整體現象。這正是「最大存在區間」是個真概念、而非技術細節的實際理由——模型裡的超線性增長（在族群動力學、燃燒、重力坍縮中）確實會產生只在某個有限災難之前才有效的解。
y' = y^2、y(0) = 1 的解是 y = 1/(1 - x)。在 x = 0 處是 1，在 x = 0.9 處是 10，在 x = 0.99 處是 100，而當 x -> 1 時爆向無窮。儘管 y^2 是個看似無害的多項式，解在 x >= 1 時就是不存在。
超線性增長 y' = y^2 在 x = 1 抵達無窮——指數增長 y' = y 則永遠不會。
爆破對局部存在唯一性定理是隱形的：光滑、利普希茨的右端不會給任何提示，因為這場災難是整體的。指數增長不是爆破——e^x 在每個有限的 x 處都保持有限。