解的延拓（continuation of solutions）

一個局部存在性定理交給你一個只在小區間上的解，但那很少是故事的結局。解的延拓，就是有系統地把那一小段局部解往外延伸——在左右各黏上更多的解——直到再也無法延伸為止。這是你從謙虛的局部保證走向軌跡完整壽命（最大存在區間）的途徑。

其機制是一場接力賽。假設存在唯一性在 (x0 - h, x0 + h) 上給你一個解。取右端緣前一刻的端點值，把它當作一個新的初始條件，在那裡重新套用局部定理以再延伸一點；然後從新的前沿重複。因為各片段彼此重疊，而唯一性逼著它們在重疊處一致，它們便拼接成一個在更大區間上良定義的解。你不斷接力，直到延伸失敗——而它為何停止有一個乾淨的二分法：要麼自變量跑到了 f 有定義之區域的邊界，要麼解的值離開了每一個有界集（它爆破了）。若兩者都不發生，你總能繼續，所以一個停留在固定有界區域內的解必定能延伸。

這是讓「最大存在區間」變得精確的橋樑概念，也把爆破從意外升格為定理。它還給出一條好用的工作規則：要證明一個解對所有時間都存在，只需證明它無法逃向無窮——一個關於解的先驗界限禁止了爆破，延拓便把它永遠帶下去。格朗沃爾不等式正是製造這種界限的標準工具。