皮卡－林德洛夫定理（Picard-Lindelof theorem）
/ pee-KAR LIN-de-loff /
這是一階初值問題的主力存在唯一性定理，也是多數課本最倚重的那一個。它說：若右端 f(x, y) 在起點 (x0, y0) 附近的盒子上連續，且在那裡對 y 滿足利普希茨條件，則問題 y' = f(x, y)、y(x0) = y0 在 x0 附近某段區間上恰有一個解。連續性換來存在性；利普希茨條件把它升級成單一、無歧義的解。兩半是一起、局部地交付的。
以下是證明實際的走法，因為這個方法和結論一樣有價值。你把微分方程改寫成等價的積分方程 y(x) = y0 + 從 x0 到 x 對 f(t, y(t)) dt 的積分，於是解這個常微分方程就變成尋找一個等於這個表達式的函數——也就是「把候選函數送到右端」這個映射的不動點。在夠短的區間上，利普希茨常數使這個映射成為壓縮（它縮短函數之間的距離），而壓縮映射原理保證恰好一個不動點。你藉皮卡迭代到達它：從一個猜測出發，把它代進積分得到更好的，再重複；這些逐次逼近收斂到那個唯一的解。
兩條誠實的警語讓它不被過度吹捧。其一，它是局部的：定理只承諾在某段（可能很小的）區間上有解，並非對所有 x——解之後仍可能爆掉。其二，利普希茨假設是本質的，而非裝飾；拿掉它，唯一性可能真的失效，正如通過原點的 y' = y^(2/3) 所示。所以皮卡－林德洛夫最好理解為：足以禁止分岔的光滑性，外加一份建構那唯一真解的可操作配方。
對於 y' = x + y、y(0) = 1，右端光滑且對 y 利普希茨（對 y 的斜率處處就是 1），所以皮卡－林德洛夫在 0 附近給出唯一解——而從 y0(x) = 1 出發的皮卡迭代，一次一項地生成該解的部分和。
連續性加上利普希茨界限，產生一個局部的唯一解，而證明還順手給你一個建構它的方法。
這個保證是局部的。一個完全乖巧、光滑的右端，仍可能產生一個只在短區間上存在、之後就爆掉的解——起點附近的唯一性，對解能活多久什麼也沒說。