利普希茨條件（Lipschitz condition）
/ LIP-shits /
利普希茨條件是對一個函數變化快慢的受控上限。一個關於 y 的函數 f 滿足它，是指存在單一常數 L（利普希茨常數），使得對任意兩個輸入 y1 與 y2，輸出之差至多是輸入之差的 L 倍：|f(y1) - f(y2)| <= L |y1 - y2|。換句話說，圖形在任何地方都不能比一條斜率為 L 的直線更陡——沒有垂直懸崖，沒有無限尖銳的轉角。它比單純的連續性強一級，卻比可微弱一些；事實上，導數有界的函數自動是利普希茨的，L 取為 |f'| 的上界。
在微分方程裡，這個條件是對右端 f(x, y) 作為其第二個變元 y 的函數來要求的，通常對某區間內的 x 一致地成立：|f(x, y1) - f(x, y2)| <= L |y1 - y2|。這正是把「存在性」升級為「存在且唯一」的那味額外配料。理由很直觀：若兩個解起初很靠近並試圖分開，它們斜率之差被高度之差的 L 倍所界定，所以它們分離的速度不會快過指數——而若它們從同一點出發，這個界限就逼著它們永遠黏在一起。這個「界住擴散」的論證由格朗沃爾不等式（Gronwall's inequality）使之嚴格。
誠實的警語在於這個條件何時失效。在 f 對 y 有無限斜率的點上，沒有任何有限的 L 行得通，唯一性便可能崩潰。典型的例子是 f(y) = y^(2/3)：在 y = 0 附近其導數 (2/3) y^(-1/3) 爆掉，所以那裡沒有利普希茨常數，於是確實有無窮多個解從原點冒出。因此，利普希茨條件最好讀作一句精確的陳述：要禁止那種分岔，到底必須成立什麼——它排除了那種讓解得以分裂的陡峭。
f(y) = 3y 是利普希茨的，L = 3：任兩個 y 值所給出的斜率之差，是它們間距的 3 倍。但 f(y) = y^(2/3) 在 0 附近不是利普希茨的，因為當 y -> 0 時其斜率 (2/3) y^(-1/3) 無界增長——而那正是唯一性破裂之處。
有界的斜率（有限的 L）正是防止解分岔的守衛；無限斜率則移除了它。
利普希茨嚴格地介於連續與可微之間：每個導數有界的可微函數都是利普希茨的，但利普希茨函數不必可微（想想 |y|，在 0 處有一個角）。