唯一性的失效（failure of uniqueness）
唯一性的失效，是一種令人不安的情況：一個初值問題有解，但不止一個——有時有無窮多條曲線，全都通過同一個起點、遵守同一條規則。它與「起始狀態加上運動定律應當決定未來」的直覺相牴觸，而那個直覺通常是對的；但除非你加上一個假設，否則它並不是定理。當假設缺席時，未來真的會分叉。
著名的例子是 y' = y^(2/3) 且 y(0) = 0。一個解是水平線 y = 0，永遠停在原點。但另一個是 y = (x/3)^3，它同樣通過 (0, 0) 並滿足方程。更糟的是，你可以等待任意長的時間 T 然後再脫離：在 x = T 之前停在 y = 0 上，之後改走 y = ((x - T)/3)^3。每一個 T 的選擇都給出一個不同的有效解，所以有無窮多個。其機制在於 f(y) = y^(2/3) 在 y = 0 處有無限斜率——其導數 (2/3) y^(-1/3) 在那裡無界——所以原點處不存在利普希茨常數，解便可以自由分岔。
教訓正是利普希茨條件存在的理由：它是禁止這種分岔的那個精確性質。對 y 有界的斜率意味著兩個解無法從共享的一點上脫離彼此——格朗沃爾不等式把「有界的擴散速率」變成「從共同起點完全不擴散」。所以不唯一性既非悖論，也非理論的瑕疵；它是理論誠實地告訴你：平衡點處那種平方根式的平坦，讓軌跡得以在那裡歇一陣子、然後在任意時刻離開，唯有額外的光滑性才能排除這件事。
y' = y^(2/3)、y(0) = 0 容許 y = 0，也容許 y = (x/3)^3，還有「先等待再離開」這一族：當 x <= T 時 y = 0、之後為 ((x-T)/3)^3——每個 T >= 0 對應一個解。無窮多條曲線，全都合法。元兇是：y^(2/3) 在原點的無限斜率。
無窮多個解通過同一點——這正是缺少利普希茨條件的標記。
不唯一性需要 f 對 y 的斜率在某處爆掉。若 f 光滑（利普希茨），這問題就不會出現——所以乖巧的日常模型不會遇到它，這也是為什麼人們容易忘記它有可能發生。