積分因子解法步驟（integrating-factor solution recipe）
積分因子解法步驟是解任何一階線性方程的固定、可靠的清單。每次都是同樣的四個動作，這也是一階線性方程如此可靠的部分原因：你不必發明技巧，只要執行程序。
第一步：把方程寫成標準形 y' + p(x) y = q(x)，若 y' 的係數還不是 1 就整個除過去。第二步：計算積分因子 mu(x) = e^(p(x) 的積分)（任一反導數；不需常數）。第三步：把整個方程乘以 mu，認出左邊是導數 (mu y)'，於是方程讀作 (mu y)' = mu q(x)。第四步：對兩邊積分得 mu y = (mu q 的積分) + C，再除以 mu 把 y 孤立出來：y = (1/mu)((mu q 的積分) + C)。那個 C 是通解唯一的任意常數；若你有初始條件，代入就能釘住 C。
這個配方之所以有價值，是因為它完整且無條件：只要 p 與 q 在某區間上連續，它就在該區間上給出通解，沒有特例、不用猜。它的痛點在第三步的積分——mu q 的積分可能沒有初等反導數（例如 q 是高斯型項時），這時配方仍給出答案，但只能寫成一個你可能得用數值方法求值的積分。方法在原則上總是有效；但所得的積分未必能以封閉形式表示。
解 y' + 2 y = e^(-x)，y(0) = 1。已是標準形；mu = e^(2x)。乘上：(e^(2x) y)' = e^(2x) e^(-x) = e^x。積分：e^(2x) y = e^x + C，於是 y = e^(-x) + C e^(-2x)。代入 y(0) = 1：1 = 1 + C 得 C = 0，所以 y = e^(-x)。
四個動作：標準化、造 mu、積分 (mu y)' = mu q、再除回去——然後用初始條件釘住 C。
配方只在第四步處理積分常數一次——絕不要在 mu 上另外加常數。若最後的積分沒有初等形式，可保留為 mu q 的積分；那仍是有效答案。