特徵方程（characteristic equation）

當線性方程的係數是常數時（a y'' + b y' + c y = 0，a、b、c 是固定的數），有一條奇妙而直接的求解之路，把微積分變成代數。你猜解是個指數函數，而這單一的猜測，便把微分方程坍縮成一個普通的多項式方程。那個多項式方程，就是特徵方程。

魔術是這樣運作的。試 y = e^(r x)，r 是某個未知數。則 y' = r e^(r x)，y'' = r^2 e^(r x)；每次求導不過是再乘上一個 r。代入 a y'' + b y' + c y = 0，並提出永不為零的 e^(r x)：你剩下 a r^2 + b r + c = 0。這個關於 r 的二次式就是特徵方程，而任一根 r 都使 e^(r x) 成為真正的解。求導被換成了乘法，微分方程被換成了中學的二次式，用求根公式解它，讀出那些指數即可。

根的性質決定解的形式，分三種情形。兩個相異實根 r1、r2 給出 y = c1 e^(r1 x) + c2 e^(r2 x)。一個重實根 r 給出 y = (c1 + c2 x) e^(r x)。一對共軛複根 a ± b i 給出 y = e^(a x)(c1 cos(b x) + c2 sin(b x))。每一種情形都填滿二維解空間；合起來便完整地解出每一個常係數線性二階方程。這條捷徑是整個微分方程中最可靠的工具之一，但它之所以管用，僅因為係數是常數；對變係數，指數猜測會失效。