二階線性方程：齊次
相異實根情形（distinct real roots case）
特徵方程三種結果中，最友善的是它的兩個根為相異實數時。這是過阻尼系統的情形，比如裝了強力閉門器的紗門、重度阻尼的儀表指針，運動只是消逝而不過衝，呈現為兩個純指數衰減（或增長）的混合。
具體而言：對 a y'' + b y' + c y = 0，只要特徵二次式 a r^2 + b r + c = 0 的判別式 b^2 - 4ac 為正，它就有兩個相異實根 r1、r2。每個根貢獻一個指數解，e^(r1 x) 與 e^(r2 x)。這兩個自動線性無關，它們的比值 e^((r1 - r2)x) 因 r1 ≠ r2 而非常數，朗斯基行列式 (r2 - r1) e^((r1+r2)x) 永不為零，所以它們構成一組基本解。通解就是 y = c1 e^(r1 x) + c2 e^(r2 x)，常數 c1、c2 由兩個初始條件定出。
讀根便能一眼看出行為。若兩根皆負，每個解都衰減到零（穩定的、過阻尼的回歸靜止）。若其一為正，一般解會爆掉。若兩根跨越零，你得到鞍點式的分裂。此情形是三者中最簡單的，也是其餘兩者的範本，後兩者其實是同一個指數想法的極限變體或複數變體。
y'' - y' - 6 y = 0 的特徵方程為 r^2 - r - 6 = (r - 3)(r + 2) = 0，故 r = 3、-2。通解為 y = c1 e^(3x) + c2 e^(-2x)。一個增長模、一個衰減模，當 x 增大時一般解像 e^(3x) 那樣增長。
兩個相異實根給出兩個純指數；其和即通解。
相異實根要求判別式嚴格為正。當 b^2 - 4ac 恰為零時，兩根併為一個（重根情形），第二個解不再是另一個指數，而是 x e^(r x)。
又稱
另見