重根的解形式（solution forms for repeated roots）

特徵多項式保證有 n 個根，而你想要 n 個獨立解與之相配。但若某個根出現不只一次——比如 r 是二重根或三重根呢？那麼光靠 e^(rx) 只給你一個解，而計數卻要求更多，簡單的配方就湊不夠了。重根的解形式正是供給缺失之解的規則，訣竅在於引入 x 的因子。

這個模式很乾淨。若 r 是重數為 m 的實根（在因式分解後的特徵多項式中出現 m 次），則它貢獻 m 個線性獨立的解：e^(rx)、x e^(rx)、x^2 e^(rx)、...、x^(m-1) e^(rx)。所以二重根 r 給出 e^(rx) 與 x e^(rx)；三重根給出 e^(rx)、x e^(rx)、x^2 e^(rx)。對重數為 m 的複根對 a +/- bi，同樣的想法把正弦－餘弦對加倍：e^(ax) cos(bx) 與 e^(ax) sin(bx) 各乘上 1、x、x^2、...、x^(m-1)。把每個根連同其重數一起清點，總是恰好湊得 n 個解，而由於它們獨立，便構成一組基本解系。

為什麼乘以 x 有效？直觀上，兩個相等的根是兩個鄰近相異根 r 與 r + h 的極限：組合 (e^((r+h)x) - e^(rx))/h 是一個解，而當 h 縮向零時它趨於 x e^(rx)。所以 x 因子是根相撞的指紋。這在物理上表現為二階的臨界阻尼及其高階類比。要避免的常見錯誤是：絕不要只是把 e^(rx) 重複兩次——重複同一個函數毫無新意，使朗斯基行列式為零，無法張滿空間。