修正規則（乘以 x，modification rule）

有時你完全合理的試解，原來是某個齊次解的偽裝。恰好以鞦韆的自然節奏去推它，那個簡單的「同形狀響應」猜測就會失敗，因為那個形狀經過算子作用後會得零。修正規則就是標準的修補：當猜測與某個餘解相撞時，把它乘以 x。

機制如下。假設你想為外力 e^(kx) 求一個特解，但 e^(kx) 已經是 y_c 的一部分（k 是特徵方程的單根）。那麼代入 A e^(kx) 會得 0，而不是外力——沒用。把試解乘以 x：用 A x e^(kx)。若 e^(kx) 是特徵方程的雙根（在 y_c 中出現兩次，作為 e^(kx) 與 x e^(kx)），一個 x 因子不夠；乘以 x^2，用 A x^2 e^(kx)。所以規則是：把試解中相衝突的部分，乘以使修正後的猜測中沒有任何一項仍是齊次解所需的最小 x 次方（x 或 x^2）。

從物理上看，這就是共振在代數中現身。當你以系統自己的自然頻率去驅動它，響應不只是振盪——它像 x 乘以一個振盪那樣增長，這正是規則所產生的 x e^(kx) 或 x sin(wx) 形式。這規則不是要盲目背誦的把戲；它是數學在堅持：共振外力會給出質上更大、增長的響應。代入之前永遠先把猜測與 y_c 比對，這樣你才知道是否需要這個規則。