正多邊形

有些多邊形完全勻稱——每條邊一樣長、每個角一樣大——例如正三角形、正方形或蜂巢的六邊形。同時在這兩方面都勻稱的圖形就是正多邊形。正 n 邊形是最對稱的多邊形：把它旋轉適當的一段角度，它會恰好疊回自己。

精確地說，正多邊形是同時為等邊（所有邊相等）且等角（所有內角相等）的多邊形。兩個條件缺一不可：菱形等邊但通常不等角，矩形等角但通常不等邊；除非是正方形，否則兩者都不是正多邊形。每個正 n 邊形都有一個中心——一個與所有頂點等距、也與所有邊等距的點——所以它既有通過頂點的外接圓，也有與各邊相切的內切圓。圓心角，即一條邊在中心所張的角，為 360/n 度；每個內角為 (n-2)·180/n 度，每個外角為 360/n 度。

正多邊形是對稱與作圖的核心。只有 n = 3、4、6 時它們能鋪滿平面（其內角 60、90、120 能整除 360）；高斯的一個深刻結果精確指出哪些正 n 邊形能用尺規畫出——那些 n 為 2 的冪乘以相異費馬質數的（所以正十七邊形可作，但正七邊形與正九邊形不可作）。一個提醒：「正」比「等邊」更強。在四邊以上，僅等邊並不足夠——菱形是標準反例——在中學題目中，宣稱多邊形為正之前，你必須同時驗證邊與角。