可作圖正多邊形（constructible regular polygon）
/ Gauss -> GOWSS /
我們能用圓規與直尺作出正三角形、正方形、正五邊形與正六邊形，但試試正七邊形，再聰明也會失敗。哪些正多邊形能作出、哪些根本不能？這個謎困擾了兩千年；少年高斯把它徹底解決，這是幾何中最美的結果之一。
作一個正 n 邊形等同於把圓分成 n 段等弧，而這又需要作出一個與 cos(360/n 度) 相關的特定長度。高斯證明（後由瓦策爾 Wantzel 補完）：正 n 邊形可作，當且僅當 n 是 2 的某次方乘上若干「相異費馬質數」之積——費馬質數是形如 2^(2^k) + 1 的質數。已知的費馬質數有 3、5、17、257、65537。所以 3、4、5、6、8、10、12、15、16、17、20…可作，而 7、9、11、13、14、18 不可作。最著名的戰利品是正十七邊形（heptadecagon），高斯 19 歲時作出，引以為傲到希望刻在自己的墓碑上。
正七邊形與正九邊形之所以失敗，背後機制與三大不可能問題相同：作出邊長等同於解一個方程，其解不落在任何平方根擴張塔中，故無法以尺規達到。這結果是精確且已證明的，不是「目前還沒人找到方法」——對正七、正九邊形而言，方法根本不存在。注意：若用額外工具（有刻度的尺、摺紙）這些就變得可行；不可能性只針對古典工具而言。
正十七邊形可作，因為 17 = 2^(2^2) + 1 是費馬質數；高斯證明 cos(360/17 度) 能僅用整數、四則運算與層層平方根寫出。正七邊形不可作，因為 7 不屬於允許的形式。
高斯判準：正 n 邊形可作，當且僅當 n 是 2 的次方乘上相異費馬質數。
目前只知五個費馬質數（3、5、17、257、65537），是否還有其他仍是未解問題。例如正七邊形的不可能性是針對尺規而言已被證明——其他工具可以作出它。