內接正六邊形（inscribing a regular hexagon）

在所有正多邊形中，六邊形的作圖簡直像個禮物。要在圓內畫一個正六邊形，你甚至不必更動圓規張口——只要拿半徑沿著圓緣「走」一圈，剛好走六步就回到起點。這正是蜂巢和螺帽頭呈六邊形的原因：對圓而言，六是最友善的數字。

原因如下。畫一個半徑 r 的圓，在上面任取一點 A。圓規寬度不變（仍是 r），針腳置於 A，畫弧交圓於下一點 B；再從 B 跨到 C，依此類推。你切出的每條弦長都是 r。原因藏在一個正三角形裡：圓心 O 與兩相鄰點，例如 O、A、B，有 |OA| = |OB| = |AB| = r，所以三角形 OAB 是正三角形，圓心角為 60 度。六個這樣的 60 度扇片正好填滿整個 360 度，所以第六步就把圖封閉。連起六個點得正六邊形；每隔一個相連則得正三角形。

六邊形是內接正多邊形最俐落的例子，也是一塊踏腳石：二等分它的圓心角得正十二邊形，再得正二十四邊形，如此不斷加倍。正方形與正三角形同樣可作。「哪些」正 n 邊形能作出的更深問題——由高斯解答——留待「可作圖正多邊形」討論。