多邊形內角和

繞著任一平面多邊形的內角走一圈，把每個角轉了多少加起來。令人意外的是，這個總和只取決於有幾個角，與多邊形的確切形狀無關——拉長的五邊形和扁胖的五邊形，內角總和相同。這個可靠的總和就是內角和。

公式是：對於有 n 條邊的凸多邊形，內角總和等於 (n-2)·180 度。最乾淨的理由是作三角剖分。選一個頂點，從它畫出所有對角線；這會把 n 邊形切成恰好 n-2 個三角形，而這些對角線把每個內角都分配掉，沒有剩餘。由於每個三角形的三內角和為 180 度（三角形內角和），多邊形的總和就是 (n-2)·180。驗證一下：三角形（n=3）得 (3-2)·180 = 180；四邊形（n=4）得 360；五邊形（n=5）得 540；六邊形（n=6）得 720。對於正 n 邊形，因為所有角相等，每個內角為 (n-2)·180/n 度——例如正五邊形中為 108 度。

這是平面幾何中最有用的事實之一：它讓你能求出多邊形中缺失的角，也決定了哪些正多邊形可以邊對邊鋪滿地面（只有內角能整除 360 的：三角形、正方形、六邊形）。一個誠實的限定：簡單公式 (n-2)·180 是對簡單（不自交）多邊形敘述的；凸多邊形的每個內角確實小於 180，而凹多邊形只要把優角頂點當作大於 180 度的角來量（而非取其較小的「外側」夥伴），公式對內角仍然成立。自相交的星形多邊形則遵循完全不同的規則。