三角形內角和定理

把任意一張紙做的三角形撕下三個角，緊靠著並排在同一點：它們每次都能拼成一條直線。這就是你手中的三角形內角和定理——三角形的三個內角永遠相加為 180 度，不論三角形的形狀或大小。

嚴格地說：對任意三角形 ABC，m(角 A) + m(角 B) + m(角 C) = 180。經典證明過頂點 A 作一條平行於對邊 BC 的直線。兩個底角 B 與 C 成為與該平行線的內錯角，於是它們的複本出現在 A 處、角 A 的兩旁。A 處的三個角現在落在一條直線上，故度數相加為 180——而這三個恰好就是三角形的三個角。整個證明建立在平行線角定理上，所以它是道地的歐氏結果。

這個 180 是平坦（歐氏）幾何特有的。在球面上三角形內角和大於 180，在雙曲平面上則小於 180；與 180 的差距稱為角盈或角虧，量度了曲率。所以「內角和為 180」並不是各地所有三角形的普遍法則——它是平坦平面的標誌，也是平行公設真正起作用的一個漂亮早期跡象。